Lista limite 3

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CAI- Limite :Lista de Exercício 3                                                                                                                        sp;               O material que deseja acessar está em código tex, que precisa de alguns segundos para carregar! Em caso de erro nas expressões matemáticas, atualize a página x 1 - Calcule os seguintes Limites. 01 $ \displaystyle\lim_{ x \to -\displaystyle\frac{\pi}{6} } \frac{2\mathrm{sen}^{2}(x) + \mathrm{sen}(x) - 1}{2\mathrm{sen}^{2}(x)-3\mathrm{sen}(x) + 1} $ Ver resposta em vídeo passo a passo clique aqui! Observamos uma indeterminação.Vamos fazer a seguinte mudança de variável: $$ u=\mathrm{sen}(x); \qquad \mathrm{quando} \quad x\to \frac{\pi}{6} \Leftrightarrow u\to \frac{1}{2}$$ Logo podemos reescrever o limite $$ \displaystyle\lim_{ x \to -\displaystyle\frac{\pi}{6} } \frac{2\mathrm{sen}^{2}(x) + \mathrm{sen}(x) - 1}{2\mathrm{sen}^{2}(x)-3\mathrm{sen}(x) + 1} = \displaystyle\lim_{ u \to \displaystyle\frac{1}{2} } \frac{2u^{2} + u - 1}{2u^{2}-3u + 1} $$ Observe que quando $ x\to \frac{1}{2}\quad$ o numerado tende a $0$ e o denominador tende a $0$, logo tem-se uma indeterminação. Fatorando o polinômio obtemos $$ \displaystyle\lim_{ u \to \displaystyle\frac{1}{2} } \frac{\not\left( u-\frac{1}{2} \right)(2u +2)}{\not\left( u-\frac{1}{2}\right)(2u-2)} = \displaystyle\lim_{ u \to \displaystyle{\frac{1}{2}} } \frac{(2u +2)}{(2u-2)} $$ Fazendo $ x\to \frac{1}{2}\quad$, tem-se $$ = \frac{(2\cdot\frac{1}{2} +2)}{(2\cdot\frac{1}{2}-2)}= -3 $$ 02 $\displaystyle\lim_{ x \to -\infty } \frac{3x^2-2x+1}{x^3+4} $ $ 0 $ 03 $ \displaystyle\lim_{ x \to +\infty } \frac{\sqrt{x^2 - 3}}{\sqrt[3]{x^3 + 1}} $ $1$ 04 $\displaystyle\lim_{ x \to 0}\frac{\cos(mx)-\cos(nx)}{x^2}$ $\displaystyle\frac{n^2 - m^2}{2}$ 05 $\displaystyle\lim_{ x \to 0 } \frac{\mathrm{tg}(ax) }{\mathrm{sen}(bx)} $ $\displaystyle\frac{a}{b}$ 06 $\displaystyle\lim_{ x \to 1 } \left( 1+\mathrm{sen}(\pi x) \right)^{\mathrm{cot}(\pi x )} $ $\displaystyle\frac{1}{e}$ 07 $ \displaystyle\lim_{ x \to 0 } \frac{(x+a)^{n} - a^{n} }{x} $ $na^{n-1}$ 08 $\displaystyle\lim_{ x \to 4^{-} } \frac{3-x}{x^2-2x-8} $ $+\infty$ 09 $\displaystyle\lim_{ x \to 0 } \frac{e^{\alpha x} - e^{\beta x } }{x} $ $\alpha - \beta $ 10 $\displaystyle\lim_{ x \to 0 } \frac{\sqrt{x^2 + p^2} - p }{\sqrt{x^2 + q^2} - q } $ $\displaystyle\frac{q}{p}$ 11 $\displaystyle\lim_{ x \to +\infty } \left(\sqrt{x^2-3x+7} - \sqrt{x^2+1}\right) $ $-\displaystyle\frac{3}{2}$ Ver resposta passo a passo clique aqui! 12 $ \displaystyle\lim_{ x \to 0 } \frac{\sqrt{1+x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} $ $\displaystyle\frac{3}{2}$ 13 $ \displaystyle\lim_{ x \to 0 } \frac{e^{x} - 1 }{\mathrm{sen}(x)} $ $1$ 14 $ \displaystyle\lim_{ x \to 0 } \frac{5\mathrm{arcsen}(3x) }{2x} $ $\displaystyle\frac{15}{2}$ 15 $ \displaystyle\lim_{x\to 0 } \frac{\sqrt{\cos(x)}-\sqrt[3]{\cos(x)}}{\mathrm{sen}^{2}(x)}$ $\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sqrt{\cos(x)} - \sqrt[3]{\cos(x)}}{\mbox{sen}^{2}(x)}$ Observe que quando $x\to 0$ o numerador tende para $0$, o que ocorre também com o denominador, assim temos uma indeterminação. Nosso objetivo é levantar essa indeterminação e logo depois calcular o limite. Sabemos da identidade trigonométrica que \begin{equation} \mbox{sen}^{2}(x) + \cos^{2}(x)=1 \Leftrightarrow \mbox{sen}^{2}(x)= 1-\cos^{2}(x) \end{equation} Assim, tem-se $\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sqrt{\cos(x)} - \sqrt[3]{\cos(x)}}{1-\cos^{2}(x)}$ Fazendo uma mudança de variável $ \varphi=\sqrt[3]{\cos(x)} \Leftrightarrow \varphi^{3} = \cos(x) $ Veja que quando $x\to 0 $ agora com a mudança de variável $\varphi\to 1$ Verifique isso aplicando $1$ na expressão 16 $ \displaystyle\lim_{ x \to 1 } \frac{1-x^2 }{\mathrm{sen}(\pi x)} $ $\displaystyle\frac{2}{\pi}$ 17 $ \displaystyle\lim_{ x \to \infty } \left( 1 +\displaystyle\frac{2}{5x} \right)^{x+3} $ $\displaystyle\sqrt[5]{e^{2}}$ 18 $ \displaystyle\lim_{ x \to 0 } \displaystyle\frac{1}{x}\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{1+x}{1-x}} $ $1$ 19 $ \displaystyle\lim_{ x \to 0 } \left[ \log_{2}{(x)} - \log_{2}{(2x)}\right] $ $-1$ 20 $ \displaystyle\lim_{ x \to 0 } \displaystyle\frac{1-\cos(Kx)}{K^{2}x^{2}} $ $-\displaystyle\frac{1}{4}$ 21 $\displaystyle\lim_{ x \to 0 } \displaystyle\frac{x-\mbox{sen}(2x)}{x+\mbox{sen}(3x)} $ $-\displaystyle\frac{1}{4}$ 22 $\displaystyle\lim_{ x \to -\infty } \displaystyle\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} $ $-1$ 23 $\displaystyle\lim_{ \psi \to -\infty } \sqrt{ \displaystyle\frac{3\psi ^{7} - 4\psi^{5}}{2\psi^{7}+1}} $ $\sqrt[3]{\displaystyle\frac{3}{4}}$ 24 $\displaystyle\lim_{ \psi \to -\infty } \displaystyle\frac{\mbox{sen}(x)-\mbox{sen}(a)}{x-a} $ $\cos(a)$ 25 $ \displaystyle\lim_{ \psi \to -\infty } \displaystyle\frac{\sqrt[3]{x^2} -2\sqrt[3]{x} +1}{(x-1)^{2}} $ $\displaystyle\frac{1}{9}$ Determine $\mbox{K} \in \mathbb{R} $ para que a função seja contínua no ponto $x_{0} = 0$. 26 $$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \displaystyle\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}, & \mbox{se}& x >0\\ 3x^2-4x+\mbox{K} , & \mathrm{se} & x\leq 0 \end{array}\right. $$ $\mbox{K} = \displaystyle\frac{1}{2}$ Verificar se a função $f(x)$ é contínua no ponto $x_{0}=0$. 27 $$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x\cdot \mbox{arctg}\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right), & \mbox{se}& x \neq 0\\ 0 , & \mathrm{se} & x= 0 \end{array}\right. $$ Contínua. Verificar se a função $f(x)$ é contínua no ponto $x_{0}=-1$. 28 $$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \displaystyle\frac{x^{2}+3x+2}{x+1}, & \mbox{se}& x < -1\\ 0, & \mbox{se}& x = -1\\ 3x , & \mathrm{se} & x> -1 \end{array}\right. $$ Descontínua. Ache as Assíntotas Horizontais e Verticais do Gráfico de cada função e trace o gráfico. 29 $f(x) = \displaystyle\frac{3x}{x-1}$ Descontínua. 30 $f(x) = \displaystyle\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+4x}}$ Descontínua. 31 $f(x) = \displaystyle\frac{2x^{2}+1}{2x^{2} - 3x}$ Descontínua. [1] PISKOUNOV. Cálculo Diferencial e Integral, vol I e II. Editora Lopes da Silva.