Temos,
$ \displaystyle\lim_{ x \to 1 } \displaystyle\frac{1}{(1-x)^2} = +\infty \Leftrightarrow\forall \mbox{M}>0 \exists \delta > 0 \quad | \quad \underbrace{0< | x-1|<\delta }_{(I)} \Rightarrow \underbrace{\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2} >\mbox{M} }_{(II)}$
De (2),
$ \displaystyle\frac{1}{(1-x)^2} >\mbox{M} \Rightarrow (1-x)^2 < \displaystyle\frac{1}{\mbox{M}} $
Usamos que $z=1-x$, assim
$ z^{2} < \displaystyle\frac{1}{\mbox{M}} \Rightarrow z^{2} - \displaystyle\frac{1}{\mbox{M}} < 0 $
$ z^{2} = \displaystyle\frac{1}{\mbox{M}} \Rightarrow z = \pm \sqrt{\displaystyle\frac{1}{\mbox{M}}} \Rightarrow z = \pm \displaystyle\frac{ 1}{ \sqrt{ \mbox{M}}} $
Lembre-se que $ | a | < b \Leftrightarrow -b < a < b $
Logo,
$ - \displaystyle\frac{ 1}{ \sqrt{ \mbox{M}}} < z < \displaystyle\frac{ 1}{ \sqrt{ \mbox{M}}} \Rightarrow -\displaystyle\frac{ 1}{ \sqrt{ \mbox{M}}} < 1-x< \displaystyle\frac{ 1}{ \sqrt{ \mbox{M}}}$
Como pode ser visto,
$| 1-x| < \displaystyle\frac{ 1}{ \sqrt{ \mbox{M}}} \Rightarrow \underbrace{| x-1| < \displaystyle\frac{ 1}{ \sqrt{ \mbox{M}}}}_{(II)} $
Comparando (I) com (III), concluímos que
$ \delta = \displaystyle\frac{ 1}{ \sqrt{ \mbox{M}}} $
c.q.d.
