Cálculo Diferencial e Integral:Disponha Cálculo: Cálculo I - Derivada

Avaliação Derivada 1

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1.Determine a derivada das funções a seguir simplificando ao máximo, se possível.

(a) $f(x)=\displaystyle\frac{1+\mbox{arctg}(x)}{2-3\mbox{arctg}(x)}$

b) $y=\displaystyle\frac{e^{\mbox{sech}(\sqrt{x})}}{x} $

$ $	c)$f(x)=4\ln{(\ln{(\ln{(\sec(x))})})}$.

d) $f(x)= \sqrt{x} + \displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

$ $	(e) $f(\theta) = \displaystyle\frac{\mbox{cotg}(\theta)}{1-\mbox{sen}(\theta)}$

(f) $f(x) = x^{2}\mbox{sen}(x) - \ln{(x)}\cos(x)$

2.Faça o que se pede.

$ $	a) Seja $f(x)=e^{x}\cdot g(x)$, em que $g(0)=2$ e $g^{'}(0)=5.$Calcule $f^{'}(0).$

$ $	(b)usando a definição, calcule $f^{'}(x)$ para $ f(x)= 4-\sqrt{x+3}$

$ $	(c) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de $y=x^{2}+\mbox{sen}\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}x\right)$, em $x=1$

$ $	3. Suponha que petróleo vaze por uma ruptura de um petroleiro e espalha-se em um padrão circular. Se o raio do petróleo derramado cescer a uma taxa constrante de $1 m/s$, quão rápido a área do vazamento está crescendo quando o raio é igual a $30 m$.

$ $	4. Seja $\psi: (-2, +\infty) \rightarrow (-4, + \infty)$ definida por $\psi(x)= x^2+4x$. Sabendo $\psi^{-1}(y)$ a função inversa de $\psi (x)$, determine $ (\psi^{-1}(y))^{'}(5).$

5. Faça o que se pede:

$ $	a) Se $x^{3} -3x^{2}y^{4}+4y^{3} = 6x+1$, obtenha $\displaystyle\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}$ por derivação implícita.

$ $	b) Utilizando diferenciais calcule um valor aproximado para $\mbox{sen}(46^{\circ}).$

c) Calcule a derivada $y^{'}=\displaystyle\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}$ da função $y=f(x)$ definida na forma paramétrica pelas equações $f(x) = \left\{\begin{array}{rl} x=5\cos(2t) & \\ ,& t \in \left[ 0, \displaystyle\frac{\pi}{2} \right] \\ y=5\mbox{sen}(2t) & \end{array} \right.$ Para quais valores de $t$ a derivada $y^{'} = \displaystyle\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} $ está definida?

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